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HM 1–3
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Prof Pöschel

Inhalt der Vorlesung

Abschnittsabgaben wie 0.8.15 beziehen sich auf Meyberg-Vachenauer, Band 1 & 2.

0. Grundlagen

  1. Zahlen
    • Zahlensysteme, die reellen und komplexen Zahlen 1.2.1–5 & 1.8.1–3
    • Fundamentalsatz der Algebra 2.2.7
    • Vollständige Induktion 1.2.6
  2. Vektoren
    • Geometrische Vektorrechnung 1.4.2–5
    • Winkel, Sinus und Cosinus 1.3.2–3
    • Kartesische Koordinaten 1.3.1, 1.4.1, 1.4.6
    • Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt 1.5.2–4
    • Lineare Abhängigkeit 1.5.4, 6.3.2
  3. Geraden und Ebenen
    • Geradendarstellungen 1.6.1–3
    • Abstände von Geraden 1.6.4–5
    • Ebenendarstellungen, Hessesche Normalform 1.6.6–7
    • Schnitte und Winkel von Ebenen 1.6.8–9

1. Lineare Algebra

  1. Lineare Gleichungssysteme
    • Matrizenkalkül 6.1
    • Das Gaußsche Lösungsverfahren 6.1
  2. Vektorräume
    • Der abstrakte Vektorraum, Unterräume 6.3.1–2
    • Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension 6.3.2–3
    • Lineare Abbildungen, Kern, Bild und Rang 6.6.1+6.4.3
    • Lineare Abbildungen und Matrizenkalkül: Multiplikation, Inverse 6.2.1–5
    • Spezielle Abbildungen und Matrizen 6.2.6
  3. Determinanten
    • Spezielle und allgemeine Determinanten 6.5.1–2
    • Rechenregeln und Entwicklungen 6.5.3–4
    • Anwendungen: Cramersche Regel, Volumen 6.5.5–6
  4. Hauptachsentransformation
    • Basiswechsel und Koordinatentransformation 6.6.6
    • Eigenwerte und Eigenvektoren 6.6.7
    • Diagonalisierbarkeit und Hauptachsentransformation 6.7.2+6.7.4
    • Anwendungen: Trägheitsellipsoid, Quadratische Formen, Quadriken 6.7.1+6.7.3

2. Analysis von Funktionen einer reellen Variablen

  1. Zahlenfolgen
    • Folgen und Grenzwert 2.4
    • Grenzwertsätze 2.5.1–2
    • Monotone Folgen 2.5.3
  2. Funktionen
    • Grundbegriffe 2.1.1+3
    • Polynome 2.2.1–2
    • Rationale Funktionen 2.2.5–6
  3. Stetigkeit
    • Grenzwerte von Funktionen 2.6.1
    • Bestimmung von Funktionsgrenzwerten 2.6.2
    • Stetigkeit 2.6.4
  4. Differenziation
    • Der Begriff der Ableitung 3.1.1–5
    • Ableitungsregeln 3.1.6–7
    • Höhere Ableitungen 3.1.10
  5. Anwendungen der Differenziation
    • Maxima und Minima 3.2.1
    • Mittelwertsatz 3.2.2
    • Regeln von de l'Hospital 3.2.4
    • Wendepunkte 3.2.3
  6. Spezielle Funktionen
    • Umkehrfunktionen 3.3.1
    • Wurzelfunktionen 3.3.2
    • Arcusfunktionen 3.3.3
    • Exponentialfunktionen 3.4.1–2
    • Logarithmusfunktionen 3.3.4–5
    • Hyperbelfunktionen 3.4.6
  7. Integration
    • Das Riemann-Integral 4.1.1–3
    • Integration und Differenziation 4.1.4
    • Integrationsmethoden 4.2.1–3
    • Integration rationaler Funktionen 4.3.1–2, 4.3.6
    • Uneigentliche Integrale 4.4.1–4.4.4
    • Anwendungen: Kurvenlängen, Flächeninhalte, Rotationskörper 4.5.1–2, 4.5.5–6, 4.6.2–3
    • Numerische Integration 4.7
  8. Potenzreihen
    • Unendliche Reihen 5.1.1–2
    • Funktionenfolgen und -reihen 5.2.1–2
    • Potenzreihen 5.3.1–4, 5.3.6–7
    • Taylorreihen 5.4.1–3
    • Einige Anwendungen 5.5.1–3

3. Analysis von Funktionen mehrerer reeller Variablen: Differenziation

  1. Kurven im Rn
    • Grundbegriffe 7.1.1
    • Das begleitende Dreibein, Krümmung und Torsion 7.1.2
  2. Skalarenfelder
    • Grundbegriffe 7.2.1
    • Grenzwert und Stetigkeit 7.2.2
    • Partielle Ableitung und Gradient 7.2.3
    • Totale Ableitung und lineare Approximation 7.2.4–5
    • Richtungsableitung und Gradient 7.2.6
  3. Anwendungen der Differenziation
    • Taylorformel 7.3.1–2
    • Lokale Minima und Maxima 7.3.4
    • Extrema mit Nebenbedingungen, Lagrangemultiplikator 7.3.6
    • Implizite Funktionen 7.3.3
  4. Vektorwertige Funktionen
    • Differenzierbarkeit, Jacobimatrix, Kettenregel7.4.1–2
    • Divergenz und Rotation 7.4.3–4

4.   Analysis von Funktionen mehrerer reeller Variablen: Integration

  1. Parameterintegrale
    • Eigentliche und uneigentliche Parameterintegrale 8.1.1
  2. Kurvenintegrale
    • Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion 8.2.1–2
    • Das Kurvenintegral einer vektorwertigen Funktion 8.2.3
    • Das Potential eines Gradientenfeldes 8.2.5
    • Die praktische Bestimmung eines Potentials 8.2.6
  3. Integration über ebene Bereiche
    • Definition und Eigenschaften des Doppelintegrals 8.3.1–2
    • Berechnung von Doppelintegralen und Anwendungen 8.3.3–4
    • Der Satz von Green 8.3.5
  4. Integration über Flächen
    • Parameterdarstellungen 8.4.1–2
    • Der Flächeninhalt 8.4.3
    • Das Oberflächenintegral einer skalaren Funktion 8.4.4
    • Die Transformationsformel 8.4.5
    • Das Oberflächenintegral einer Vektorfeldes 8.4.6
  5. Integration über dreidimensionale Bereiche
    • Definition und Eigenschaften des Volumenintegrals 8.5.1–2
    • Die Transformationsformel 8.5.3
    • Der Divergenzsatz von Gauss 8.5.4

5.   Gewöhnliche Differenzialgleichungen

  1. Grundbegriffe
    • Beispiele und Grundbegriffe 9.1.1
    • Anfangswertprobleme 9.1.2
    • Geometrische Interpretation 9.1.3
  2. Allgemeine Sätze
    • Existenzsatz von Peano 9.4.1
    • Lipschitz-Bedingung und EE-Satz 9.4.2
    • Stetige Abhängigkeit von Anfangswerten 9.4.4
  3. Einige elementar lösbare Differenzialgleichungen 1. Ordnung
    • Exakte Differenzialgleichungen 9.2.1
    • Trennbare Differenzialgleichungen 9.2.2
    • Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung 9.2.3
    • Integration durch Substitution: Homogene, Bernoulli- und Ricatti-Differenzialgleichungen 9.2.5
  4. Einige elementar lösbare Differenzialgleichungen 2. Ordnung
    • Lineare Gleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 9.3.1
    • Lösung der homogenen Gleichung, Fundamentalsystem 9.3.2–3
    • Lösung der inhomogenen Gleichung 9.3.4
    • Beispiel: Lineare mechanische Schwingung 9.3.5
    • Autonome Differenzialgleichungen 2. Ordnung 9.3.8
  5. Differenzialgleichungssysteme
    • Grundbegriffe und allgemeine Sätze 9.8.1–2
    • Lineare Differenzialgleichungssysteme 9.8.3
  6. Lineare Differenzialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
    • Matrixexponentialfunktion und Fundamentalmatrix 9.9.2–3
    • Lösungsbasis mit Eigen- und Hauptvektoren 9.9.4
    • Die inhomogene Gleichung 9.9.6–7
    • Skalare Differenzialgleichungen n.ter Ordnung 9.9.8–9
    • Geometrische Betrachtungen 9.9.5

Ende der Vorlesung

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